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Mobilités, flux et transports

Archive. Étude d'un réseau et calculs de connectivité

Publié le 29/11/2004
Auteur(s) : Sylviane Tabarly, professeure agrégée de géographie, responsable éditoriale de Géoconfluences de 2002 à 2012 - Dgesco et École normale supérieure de Lyon
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NB. Le contenu de cet article donne des informations disponibles au moment de sa publication en 2004.

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L'étude des réseaux de transport peut être prolongée par la prise en compte des connaissances mathématiques sur les graphes. Elle est particulièrement propice à des travaux en partenariat avec les enseignants de mathématiques.

Il peut être utile de faire le point sur les unités de mesure le plus souvent employées dans le monde des déplacements et du transport.

La mesure des flux

Pour mesurer les flux, il faut tenir compte de la quantité transportée et de la distance franchie : passagers/km ou tonnes/km. Lorsque l'on rapporte cette quantité à une unité de temps on obtient un débit : megabits/seconde ou bauds/seconde pour les télécommunications informatiques, Unité Véhicule Particulier (UVP)/heure pour le trafic routier, etc. Le "Passager - kilomètre transporté" (pkt) est une unité de mesure correspondant au transport d'un passager sur une distance d'1 km.

Le nombre de km/avion est la distance moyenne annuelle parcourue par un aéronef. Il permet de mesurer l'efficacité d'une flotte aérienne : il devrait avoir doublé, en moyenne, sur la période 1995 - 2005. Le kilomètre passager réalisé (kpr) est une unité utilisée aussi en transport aérien pour mesurer le trafic passager réalisé.

Dans le transport aérien toujours, le Work Load Unit (WLU) est une unité qui correspond à un passager ou 0,1 tonne de fret, ce qui permet de quantifier l'ensemble du trafic.

Étude d'un réseau : initiation à l'analyse topologique et à l'étude des graphes

L'étude des réseaux de transport peut être prolongée par la prise en compte des connaissances mathématiques sur les graphes. Elle est particulièrement propice à des travaux en partenariat avec les enseignants de mathématiques (classes de terminale "sciences économiques et sociales").

Pour connaître objectivement et analyser la structure d'un réseau (sa topologie), il doit être représenté sous forme de graphe. On fait remonter la théorie des graphes au problème dit "des ponts de Königsberg" résolu par Leonhard Euler en 1736. Il s'énonçait ainsi : est-il possible, en partant d'une zone de la ville, de retourner dans la même zone en traversant chacun de ses sept ponts une fois et une seule ? En 1822, le mot "graphe" est introduit par l'anglais J.J. Sylvester et, en 1936, paraît un premier livre sur la théorie des graphes écrit par D. König.

De nos jours, la théorie des graphes sert à représenter et à organiser spatialement des tâches (transports, tournées de livraison, par exemple mais tous les modes de communication peuvent être concernés) de manière optimale.

Un graphe est un ensemble de points (nœuds ou sommets ) reliés ou non entre eux par des liens orientés (flèches pour un graphe dit orienté) ou non orientés (arêtes ou arcs). Les nœuds sont à l'origine d'une ou plusieurs lignes (confluence, bifurcation, carrefour). L'étude du graphe d'un réseau permet d'en déterminer les caractéristiques topologiques à partir de paramètres tels que le nombre de nœuds (N), de liens (L) et le nombre de ses composantes connexes (C).

Un graphe est dit complet lorsque deux sommets quelconques et distincts sont reliés par une et une seule arête. Il est dit connexe si l'on peut relier deux sommets quelconques du graphe par une suite continue d'arêtes : ainsi, la connexité indique la possibilité de se rendre de chaque point du réseau à tous les autres par une série de liens. Enfin, la connectivité reflète la complexité d'un réseau lorsqu'il offre plusieurs choix pour aller d'un point à un autre.

Les indices de connectivité permettent d'évaluer les possibilités alternatives d'atteindre les divers sommets d'un réseau. Ils facilitent les comparaisons entre les réseaux et donnent une idée du degré d'achèvement d'un réseau ou des possibilités qui demeurent pour l'étoffer.

Plusieurs indices peuvent être proposés parmi lesquels :

  • L'indice ß (bêta) = L/N exprime la complexité d'un réseau, qui s'élève avec le nombre de liens pour un nombre donné de nœuds.
  • L'indice g (gamma) est une version standardisée de l'indice précédent, avec une valeur comprise entre 0 et 1. Il exprime le rapport entre le nombre de liens observé et le nombre maximal de liens possibles. Dans le cas d'un graphe planaire, le nombre maximal de lien est égal à 3(N-2), ce qui donne la formule suivante : g (gamma) = L/[3(N-2)]
  • Le nombre cyclomatique µ = L-N+C. Il est nul pour un territoire desservi par une série de voies de pénétration sans lien entre elles, il est élevé pour un réseau fortement maillé.
  • L'indice a (alpha) est une version standardisée de µ, avec une valeur comprise entre 0 et 1. Cet indice exprime le rapport entre le nombre observé de circuits indépendants et sa valeur maximale. Dans le cas d'un graphe planaire, le nombre maximal de circuits est égal à (2N-5), ce qui donne la formule suivante : a = (L-N+C)/(2N-5)

Plusieurs autres indices prennent en compte la surface du territoire (S), la longueur du réseau (l) et le trafic (T) calculé d'après le tonnage de marchandises ou le nombre de passagers. La densité du réseau est calculée classiquement par la formule l/S ou par le rapport N/S.

L'indice e (eta) = l/L donne la longueur moyenne des liens (par exemple, de diverses lignes d'une compagnie aérienne).

L'indice i (iota) = T/l exprime le nombre moyen d'unités de trafic (voyageurs ou marchandises) transportées par km.

Les indicateurs locaux de position permettent de mesurer la centralité ou l'accessibilité des différents sommets à l'intérieur d'un graphe. Par exemple :

  • La centralité de degré (CD) correspond au nombre de liaisons directes qui partent d'un sommet. Elle correspond en géographie à la notion de carrefour.
  • La centralité d'éloignement moyen (CE) correspond à la distance moyenne entre un sommet et l'ensemble des autres sommets. Le calcul de cette mesure de centralité implique la construction d'une matrice de distances de plus court chemin à l'intérieur du graphe.


D'après :

  • Maurice Wolkdwitsch - Géographie des transports : aménagement et environnement - A. Colin - 1992
  • François Plassard - Les réseaux de transport et de communication in Encyclopédie de Géographie, Economica - 1992.
  • le cours de Claude Grasland - Université Paris VII / UFR GHSS, année 2000-2001 - Analyse spatiale et modélisation des phénomènes géographiques
  • les pages du département de Géographie de l'Université Laval (Québec, Canada) > Méthodes d'analyse spatiale, analyse de réseaux

Application à l'étude topologique d'exemples concrets de réseaux

L'analyse topologique fondée sur des données objectives permet de comparer les réseaux de divers territoires. Elle permet aussi de comparer des réseaux à diverses périodes de leur évolution et de réaliser des simulations.

Il s'agit ici de prendre des exemples simples pour comprendre les démarches. On pourra prendre l'exemple de réseaux de métros lorsqu'ils ne sont pas trop complexes. On peut aussi utiliser les réseaux de tramway, les liaisons ferroviaires à grande vitesse, par exemple. Les exemples dépendent de l'échelle des territoires que l'on se propose d'étudier.

Lorsque les réseaux deviennent plus complexes, les traitements de l'information et les calculs doivent être informatisés.

Métros : des exemples de réseaux (Athènes, Lyon, Le Caire et Tunis)

Remarque : les réseaux représentés ci-dessous ne tiennent pas compte de toute l'offre de transport en commun en sites propres (TCSP) des villes concernées qui peut également comporter des lignes de tramways par exemple.

Source : UrbanRail.Net - www.urbanrail.net Avec l'aimable autorisation de Robert Schwandl Verlag - www.robert-schwandl.de

Calculs d'indices de connectivité
 
L
N
C
µ
L-N+C
ß (Bêta)
L/N
g (Gamma)
L/[3(N-2)]
a (Alpha)
(L-N+C)/(2N-5)
Lyon (sans le réseau de tramway)
13
13
1
1
1
0,39
0,05
Le Caire avant
l'extension de réseau
6
6
1
1
1
0,5
0,14
Le Caire après l'extension de réseau 13 10 1
4
1,3
0,54
0,27

Rappel : N = nombre de nœuds ; L = nombre de liens ; C = nombre de ses composantes connexes. Des données complémentaires (longueurs totales des réseaux, flux, superficies) sont nécessaires pour calculer les indices eta et iota.

Exemples de réseaux en ligne

Sélection et mise en page web : Sylviane Tabarly

Mise à jour :   29-11-2004

Pour citer cet article :  

Sylviane Tabarly, « Archive. Étude d'un réseau et calculs de connectivité », Géoconfluences, novembre 2004.
http://geoconfluences.ens-lyon.fr/doc/transv/Mobil/MobilFaire.htm